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2010 中考数学压轴题精选（二） 

★★11、 （2010 德化）如图 1，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的 坐标为  (2,4)；矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且  AD=2，AB=3.  （1）求该抛物线的函数关系式； （2） 将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速 平行移动， 同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动， 设它们运动 ．．．．． 的时间为 t 秒（0≤t≤3） ，直线 AB  与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）.  5  ① 当 t=  时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； 2  ② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存 在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． y  y  M  M 
N 

C 

B 

C 

B 

·P 
D  O  (A)  图 1  E  x D  O  A  图 2  E 

x 

解： （1） y  = - x  + 4  x  （2）①点 P 不在直线 ME 上； ②依题意可知：P（ t , t ） ，N（ t ， - t 2 + 4  ） t  当 0＜t＜3 时，以 P、N、C、D 为顶点的多边形是四边形 PNCD，依题意可得： 

2

S  = S V PCD  + S  PNC  V
1 1  = 1 CD × OD + 1  PN × BC =  ´ 3 ´ 2 + -  2 +4  - t  × 2 = - t 2 + 3  + 3  t  t  t  2  2  2  2 

(

) 

= - (  t 

3  2 21  ) + 2  4  3  2  3  2  21  4 

∵抛物线的开口方向：向下，∴当 t =  ，且 0＜t＜  ＜3 时， S  =  最大 

当 t  = 3或0 时,点 P、N 都重合，此时以 P、N、C、D 为顶点的多边形是三角形 依题意可得， S  =  S  ABCD  =  ´ 2 ´ 3 =3  矩形  综上所述，以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积 S 存在最大值 
1 

1 2 

1 2 

21  ． 4